数学史上最让人百思不得其解的等式:0.999...=1
标签:
字号:A-A+
摘要:0.999... = 1 吗?此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次,每次都能引来上百人激烈的争论,可谓是最经久不衰的老问题了。其实,在学术界里,这个问题也是出了名的争论

0.999... = 1 吗?此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次,每次都能引来上百人激烈的争论,可谓是最经久不衰的老问题了。其实,在学术界里,这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看,这个让你百思不得其解的问题,是怎么折磨数学家们的……

最简单的“证明”

最简单的证明就是上文那样:

1/3 = 0.333...

两边同时乘以 3

1 = 0.999...

1998 年,弗雷德·里奇曼(Fred Richman)在《数学杂志》(Mathematics Magazine)上的文章《0.999... 等于 1 吗?》中说到:“这个证明之所以如此具有说服力,要得益于人们想当然地认为第一步是对的,因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托(David Tall)教授也从调查中发现,不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性

仔细想想你会发现,“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致,它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样,“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。

 

另一个充满争议的证明

大卫·福斯特·华莱士(David Foster Wallace)在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明:

令 x = 0.999...

所以 10x = 9.999...

两式相减得 9x = 9

所以 x = 1

威廉·拜尔斯(William Byers)在《How Mathematicians Think》中评价这个证明:“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程,也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程,但是 1 是一个数,过程怎么会等于一个数呢?这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生,可能还没有真正懂得无限小数的含义,更不用说理解这个等式的意义了。

逐渐靠谱的证明

等比级数具有这么一个性质:

如果 |r|

那么我们就又有了一个快速的证明:

这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉(Leonhard Euler)的《代数的要素》(Elements of Algebra)中,不过当时他证明的是 10=9.999... 。

之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明:

1846 年,美国教科书《大学算术》(The University Arithmetic)里这么说:在 0.999... 里,每增加一个 9,它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书《学校算术》(Arithmetic for School)则说:如果有非常多的 9,那么它和 1 就相差无几了。意外的是,这些“形象的说法”却适得其反,学生们常常以为 0.999... 本身其实是比 1 小的。

随着人们对实数更加深入的理解,0.999... = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年,巴图(Robert. G. Bartle)和谢波特(D. R. Sherbert)在《实分析引论》(Introduction to Real Analysis)中给出了一个区间套的证明:

  • 给定一组区间套,则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中;0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ,而所有这些区间的唯一交点就是 1,所以 0.999... = 1。

弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗?》里则用戴德金分割给出了一个证明:

  • 所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小,而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... (因而小于 0.999... ),这说明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合,从而说明 0.999... = 1

格里菲思(H. B. Griffiths)和希尔顿(P. J. Hilton)在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中,用柯西序列给出了另一个证明。

 

从未停止过的讨论

尽管证明越来越完备,学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托(Pinto)和大卫·托教授的一份调查报告中写到,当学生们用高等方法证明了这个等式之后,会大吃一惊地说,这不对呀,0.999… 显然应该比 1 小呀

在互联网上,这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”,各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。

 

一个AI的问题
 

 

 

一个八卦,诺贝尔奖获者费曼(Richard Feynman)也用这个等式开过一句玩笑:“如果让我背圆周率,那我背到小数点后 762 位,然后就说 99999 等等等,就不背了。

这句话背后的笑点很奇怪:从 π 的小数点后 762 位开始,出现了连续的 6 个 9,偏偏在这里来一个“等等等”,就会给人感觉好像后面全是 9,这相当于把 π 变成了一个有限小数。此后,π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点(Feynman Point)。

精选留言
  •  2271
    这个疑惑从初中的大吃一惊到高中的疑惑不解,一直是我心中一块大石头,让我愤慨,让我恼火,数学怎么可以这样不严谨!后来上了大学,我终于释怀了,不再纠结这个问题,因为我学了英语专业,不用再学数学啦!啦啦啦啦啦,啦啦啦啦啦(≧▽≦)

    19小时前

  •  926
    0.9999···和1之间在数轴上没存在任何一个数…

    19小时前

    作者回复
    是的,如果0.9999...≠1,必然有一个大于0.9999...又小于1的数……

    19小时前

  •  885
    这个时间推这一篇,就是提醒你现在周一了

    19小时前

  •  681
    能理解这些证明   然后就是觉得不舒服怎么办

    19小时前

  •  665
    求666666....到底有多少6,  233333...后面真的还是3吗

    19小时前

  •  506
    这篇文章撇开不说,投票第三个选项那个图片是什么啊,我很好奇

    19小时前

  •  468
    高中问过老师,被打了一顿……

    19小时前

  •  451
    我只是无限接近于一个胖子,却不是胖子

    19小时前

  •  307
    道理很简单,只要我现在还没睡,就不是周一!!!!!

    19小时前

  •  205
    你说的我都懂,从数学上能理解,能确信。但从生活中,或者小学老师对无限小数的说明中,我还是很难接受0.999…=1

    19小时前

  •  168
    睡前看了这玩意,大略一想:等式没毛病!仔细一想:不对我是文科生,自高中毕业至今已有八年没碰过数学了,我懂个1啊?!

    19小时前

  •  153
    微积分虐死我了⋯⋯从极限开始就是一头雾水

    19小时前

  •  131
    证明一和二的问题在于它们默认乘法的分配率对于可数个元素也是成立的。这个默认的前提符合直观而且也确实是对的,但是严格的说起来是需要定义或者证明的。

    18小时前

  •  126
    依稀记得第一种证明方法大概是小学的时候学小数的那阵子从童话故事杂志看到的,当时就觉得超级神奇并且get到了装逼利器~然而到现在已经是条科研狗了虽然觉得第一种证明方法有些欠妥但是觉得第二种方法严谨的毫无破绽啊!为什么还有那么多进阶版!为什么还需要讨论!感觉果然我该转行了

    19小时前

  •  124
    因爲1-0.999...=0.000...,所以0.999...=1_(:з」∠)_

    11小时前

  •  122
    选C……

    19小时前

  •  85
    太烧脑了,让不让人睡了

    19小时前

  •  69
    看了留言都是文科生...因为大概数学系的朋友在小学或是初中就想明白了。

    9小时前

  •  53
    别闹了,费曼先生

    9小时前

    作者回复
    起这个书名大概因为他确实是顶尖科学家中最能闹的人……

    9小时前

  •  23
    突然想起芝诺悖论…

    9小时前


作者:admin 来源:未知 发布于2016-09-05 19:32
本文版权归原作者所有 转载请注明出处 收藏:
您可能喜欢的文章
热门阅读